Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi
Jika A = matriks kuadrat dan  = sebuah skalar maka:
1. Matrik A-I disebut matrik karakteristik dari A. Bentuk polynomial karakteristik dalam , det(A-i), disebut polynomial karakteristik dari A, sedangkan persamaan det(A--i)=0 disebut persamaan karakteristik dari A.
2. Akar dari persamaan det(A--i)=0 disebut akar – akar karakteristik dari A atau eigen value dari A.
3. Jika  adalah sebuah nilai eigen dari A, maka penyelesaian nontrivial dari persamaan (A-i)x = 0 disebut vektor – vektor karakeristik dari A yang berhubungan dengan . Sebuah vektor bukan nol X adalah sebuah nilai eigen dari A jika kondisinya AX=X untuk nilai – nilai nyata .
4. Jadi Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
i. Ax = x
untuk suatu skalar . Skalar  disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Pada sebuah matriks kuadrat, ada beberapa nilai yang disebut Eigen Value. Nilai-nilai ini muncul dari sistem-sistem persamaan dengan bentuk A x= λx, di mana λ adalah skalar. Jika A x = λ x, A x – λ x = 0, (A – λI)x = 0 maka sistem-sistem persamaan ini disebut sistem homogenous di mana koefisien matriksnya = A - λI
Misalkan suatu sistem linear berbentuk Ax =λx.
Contoh suatu sistem linear:

Nilai λ pada bahasan berikutnya adalah suatu nilai karakteristik atau suatu nilai eigen. Persamaan di atas apabila dituliskan dalam bentuk matriks menjadi:

Selanjutnya bila dihubungkan dengan bentuk Ax =λx, maka
dan
Ax =λx dapat dituliskan menjadi λx – Ax = 0 atau (λ I – A) x =0, dengan I adalah matriks identitas, sehingga

Dapat dituliskan menjadi
atau
atau

( λ I – A) x = 0

Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Untuk menentukan nilai-nilai λ sehingga system mempunyai pennyelesaian “tidak-trivial”, maka nilai λ yang seperti itu disebut nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Jika λ adalah suatu nilai eigen dari A, maka penyelesaian “tidak-trivial” disebut vector-eigen dari A yang berpadanan dengan λ. Sistem (λ I – A) x =0 mempunyai suatu penyelesaian “tidak-trivial” jika dan hanya jika det (λ I – A) x =0. Persamaan tersebut adalah persamaan karakteristik dari A, nilai-nilai eigen dari A ditentukan dengan menyelesaikan persamaan untuk λ.

Contoh 1.
Tentukan nilai eigen dari
Det (λ I – A) = det
Nilai-eigen dari A harus memenuhi

Jadi nilai eigen dari A adalah:

Contoh 2.
Tentukan nilai eigen dari A =
Ax =λx
( A- λ I ) x = 0

Jadi nilai Eigen dari A adalah
Teorema :
Jika A adalah n x n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain :
1.  adalah nilai eigen dari A
2. Sistem persamaan (I – A) x = 0 mempunyai pemecahan yang taktrivial
3. Ada vektor taknol x di dalam Rn sehingga Ax = x
4.  adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det (I – A) = 0

Kini kita mengetahui bagaimana mencari nilai eigen, maka kita akan beralih ke masalah untuk mencari vektor eigen. Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen  adalah vektor taknol yang memenuhi Ax = x. Secara ekivalen, vektor eigen bersesuaian dengan  adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari (I – A)x = 0. Kita menamakan ruang pemecahan ini sebagai ruang eigen (eigenspace) dari A yang bersesuaian dengan .

Contoh 3 :
Cari basis – basis untuk ruang eigen dari
Jawab :
Persamaan karakteristik dari A adalah ( - 1) ( - 5)2 = 0 (buktikan), sehingga nilai – nilai eigen dari A adalah  = 1 dan  = 5. Jadi, kita peroleh dua ruang eigen dari A.
Menurut definisi;
adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan  jika dan hanya x adalah pemecahan taktrivial dari (I – A) x = 0 yakni, dari;

Jika  = 5, maka persamaan matriks di atas menjadi;

Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan (buktikan)

Jadi, vektor – vektor eigen A yang besesuaian dengan  = 5 adalah vektor – vektor taknol yang berbentuk

Karena dan
adalah vektor – vektor bebas linear, maka vektor – vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan  = 5
Jika  = 1, maka persamaan menjadi;


Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan (buktikan)

Jadi, vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 1 adalah vektor – vektor taknol yang berbentuk
Sehingga
adalah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan  = 1